어떤 생물(예: 청색조류)의 지수 성장을 연구할 때, 성장률이 $6.25\%$라면 $x$일 후의 개체 수는 $y = (1+6.25\%)^x$로 표현할 수 있습니다. 그런데 만약 $x$가 정수가 아닐 경우(예: 1.5일), 이 공식은 여전히 의미가 있을까요? 이 질문에 답하기 위해 우리는 지수의 정의를 정수에서 유리수, 심지어 실수까지 확장해야 합니다. 이것이 수 체계의 확장이 불가피한 이유입니다.
$n$차근과 분수 지수
$n$차근의 정의: 일반적으로 $x^n=a$라면, $x$를 $a$의 $n$차근이라고 하며, 여기서 $n>1$, 그리고 $n \in \mathbf{N}^*$입니다. 식 $\sqrt[n]{a}$를 근식이라고 합니다.
분수 지수 승: 연산 성질을 통합하기 위해, 양수의 양수 분수 지수 승을 다음과 같이 정의합니다: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} (a>0)$. 이는 모든 근식이 지수 형태로 변환되어 연산할 수 있음을 의미합니다.
근식은 지수 연산이 분수 차원에서 나타나는 형태입니다. 분수 지수 승을 정의함으로써, 루트 기호와 지수 사이의 경계를 제거하고, 연산 성질을 통일시킬 수 있습니다.
$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} (b>0)$$